תורת המספרים האנליטית

ראשית, ברצוני להודיע שתי הודעות:

  1. שיפרתי את העיצוב כדי שיהיה נוח יותר להסתובב בבלוג.
  2. פתחתי דף פייסבוק לבלוג כדי שתוכלו לעקוב אחרי פוסטים חדשים וחדשות מעניינות.

וכעת, לפוסט. הפעם האחרונה בה דיברתי על תורת המספרים האנליטית הייתה ממש מזמן, בפוסט הזה על הערכות צ'בישב. עכשיו אני רוצה לחזור לנושא אבל להציג אותו כמעט כרונולוגית, ולפתח אותו מהבסיס. כדי לפתח נושא מהבסיס, צריך להכניס פן היסטורי לתמונה. לכן פוסט זה יהיה בשלושה חלקים:

  1. מה היא תורת המספרים האנליטית?
  2. היסטוריה וציר זמן
  3. עבודתם של צ'בישב ומרטנס

בתקווה, בעקבות פוסט זה יגיעו פוסטים מאירי עיניים נוספים.
אם אתם רוצים מתמטיקה בלבד, תקפצו לחלק השלישי והאחרון של הפוסט – בשני החלקים הראשונים אני מספר על הטיעונים המתמטיים בקווים כלליים בלבד (אולי כלליים מידי).

1. מהי תורת המספרים האנליטית?

שאלה קשה, אבל טובה. אני אתן 2 הגדרות שונות:

  • ענף בתורת המספרים שמשתמש בשיטות מאנליזה
  • ענף בתורת המספרים שמתעסק בשאלות כמותיות

לפי ההגדרה הראשונה, התואר "אנליטית" מתייחס לכלים בהם משתמשים החוקרים בתחום זה, ולפי ההגדרה השנייה תואר זה דווקא נוגע לשאלות שעומדות בבסיס התחום. לכאורה ההגדרות הללו יכלו לייצר תחומים שונים מאוד, אבל בפועל יש מתאם חזק בין אופי השאלות לאופי התשובות שגורם לכך שיהיה תחום שרוב השאלות וההוכחות בו כמותיות באופיו. תחום זה נקרא "תורת המספרים האנליטית", ובאנגלית: Analytic Number Theory. נשתמש לעיתים בראשי התיבות ANT כדי לחסוך תווים.

דרך טובה להבין את התחום היא היא לתת דוגמאות לשאלות ששואלים את עצמם אנשי ANT.
אנשי תורת המספרים האלגברית ישאלו – האם יש אינסוף מספרים ראשוניים (או: אידאלים ראשוניים)?
אנשי תורת המספרים האנליטית ישאלו –

  • כמה ראשוניים יש עד x?
  • כמה ראשוניים יש באופן כללי בקטע [a,b]?
  • כמה ראשוניים יש שהמרחק ביניהם הוא d?
  • כמה ראשוניים יש עד x כך שהם נמצאים בסדרה חשבונית a \mod q?

השאלות הנ"ל קומבינטוריות במהותן – הן דורשות לספור דברים, ולא יפתיע לגלות שטכניקות הפיתרון מערבות קומבינטוריקה, לדוגמא נפות למיניהן, פונקציות יוצרות ועוד. עם זאת, לא על הקומבינטוריקה לבדה יפתרו הבעיות, ובסופו של דבר צריך לחשב דבר מה. לדוגמא, רבות מהשאלות מתנקזות לאינטגרלים – מסוג שלא נתקלו בו בעבר עד שצץ הצורך מתוך תורת המספרים. כלומר תורת המספרים האנליטית ללא ספק גם הפרתה את האנליזה.
עוד מוטיב ב-ANT הוא שנדיר שבעיה באה על פתרונה באופן מלא. הרבה מהמאמרים משפרים תוצאות ממאמרים קודמים. לדוגמא, כל השאלות שמניתי קודם עדיין נחקרות כי טרם נמצא פיתרון מושלם. (אם מישהו יוכיח את השערת רימן זה יביא לסיום ההתעסקות ברבות מהשאלות. אבל גם, לא בכולן!)

עוד דוגמאות לשאלות של תורת המספרים האנליטית:

  1. משפט Waring – ב-1770 הוכיח לגראנז' הצרפתי שכל מספר טבעי הוא סכום של (לכל היותר) ארבעה ריבועים של מספרים טבעיים. וורינג הבריטי הכליל באותה שנה את הבעיה באופן הבא: בהינתן k \ge 2, האם קיים חסם C_k כך שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של (עד) C_k חזקות k-יות? בעיה זו נמצאת בתת-ענף שנקרא "תורת המספרים האדיטיבית". הילברט ענה על השאלה בחיוב ב-1909, בשיטות אנליטיות (להבדיל מהמקרה הפרטי של לגראנז', שהוא אלגברי-גיאומטרי), ומאוחר יותר חושב הקבוע C_k במדויק לרוב המקרים. אך לא לכולם!
  2. השערת Goldbach – בעיה מפורסמת מ-1742, גם היא אדיטיבית באופיה. הניסוח פשוט: כל מספר זוגי, גדול מ-2, הוא סכום של 2 מספרים ראשוניים. ההשערה עדיין פתוחה, אבל טענות חלשות יותר הוכחו, כמו למשל זו. הילברט הכליל אותה בבעיה השמינית שלו.
  3. בעיית פונקציית המחלקים – נסמן ב-d(n) את המספר המחלקים של מספר ואת D(x) = \sum_{n \le x} d(x) בתור ה"אינטגרל" של הפונקציה הזו. ל-D(x) יש פירוש גיאומטרי: מספר נקודות השריג החיוביות (כלומר, \mathbb{N} \times \mathbb{N}) שנמצאות מתחת לגרף ההיפרבולה f(t) = \frac{x}{t}. דיריכלה הראה ש-D(x) = x\ln x +x(2\gamma -1 ) + O(\sqrt{x}). נשאלת השאלה: האם אפשר לקבל הערכה מוצלחת יותר לשגיאה? ההשערה היא שהשגיאה היא O(x^{\frac{1}{4} + \varepsilon}) לכל אפסילון חיובי, ומידי כמה שנים יש התקדמות לכיוון הזה. בעיה אריתמטית-גיאומטרית קרובה היא בעיית המעגל של גאוס.
  4. השערת רימן – אולי הבעיה המוכרת מכולן. ב-1859 רימן פרסם מאמר מכונן שחקר את הפונקציה \zeta(s) = \sum_{n \ge 1} n^{-s} (לימים: פונקציית זטא של רימן) ואת הקשר שלה לתורת המספרים. הוא הראה שאפשר להמשיך אותה לפונקציה אנליטית על כל המישור מלבד הנקודה s=1 (שם יש קוטב פשוט), והראה שהאפסים שלה משפיעים ישירות על כמות הראשוניים עד x. מטעמי סימטריה הוא שיער שכל האפסים שלה נמצאים על הישר \Re s = \frac{1}{2}, וזו השערת רימן. במידה והשערה זו נכונה, אפשר לקבל קירוב טוב מאוד על כמות הראשוניים עד x (להבדיל מהקירוב הנוכחי שהוא דיי מעפן).

ועוד…

לסיכום: תורת המספרים האנליטית הוא המקום בו תורת המספרים – תחום דיסקרטי כביכול, שאנחנו מכירים אותו ממשוואות דיופנטיות וקונגרואנציות – פוגשת את האנליזה, גם ככלי וגם כמנחה.

מעתה נכניס את הסימון \pi (x) – הפונקציה שסופרת כמה ראשוניים יש עד x. אחת התוצאות המרכזיות בתורת המספרים במאה ה-19 היא משפט המספרים הראשוניים, שגורס כי:

\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x / \ln x} = 1

2. היסטוריה וציר זמן

אני אסקור בצורה חצי-מתמטית חצי-סיפורית את מה שקרה עד סוף המאה ה-19 בתחום.

אוילר

Leonhard_Euler_2

הכל התחיל ב-1734, עם אוילר בן ה-28. It's always Euler. הוא חקר את הפונקציה \zeta(s)=\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^{s}}, פונקצייה במשתנה ממשי s (שלימים תיקרא "פונקציית זטא של רימן"). בקורסים בחדו"א פוגשים את הטורים \sum\frac{1}{n} (הטור ההרמוני) ואת \sum\frac{1}{n^2}שניהם מקרים פרטיים של פונקציית זטא. ע"י השוואה לאינטגרל \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}}ברור לקיפוד שהפונקציה \zeta מוגדרת היטב עבור s>1, וניתן לוודא שהיא אף רציפה (עם מבחן M של ויירשטראס לדוגמא).

אוילר עשה (לפחות) שני דברים מעניינים עם הפונקציה הזו, ואנו נפרט עליהם:

  1. פתרון בעיית בזל והכללתה – דבר שהקנה לו תהילה
  2. גילוי מכפלת אוילר, וניצולה להוכחת התבדרות הטור \sum\frac{1}{p}

א. בעיית בזל וערכי זטא

כאמור, ע"י השוואה לאינטגרל \int_{1}^{\infty} x^{-2}dx=-x^{-1}|_{1}^{\infty}=1 ניתן להיווכח שהטור \sum n^{-2} מתכנס וערכו בין 1 ל-2. ב-1644, פיאטרו מנגולי האיטלקי הציב בפני האנושות את שאלת חישוב ערך הטור במפורש. כמובן שע"י חישוב של סכומים חלקיים ניתן לקרב את ערכו האמיתי בכל רמת דיוק נדרשת, אבל מתמטיקאים אוהבים נוסחאות "סגורות". אוילר גילה שערך הטור הוא \frac{\pi}{6}^{2} \sim 1.6449\cdots. בעיה זו נודעה מאז בתור "בעיית בזל" – על שם העיר בה נולד אוילר וחיה משפחת ברנולי (שגם ניסתה ידה בבעיה). ההוכחה המקורית שלו לא הייתה ריגורוזית לגמרי אבל תקינה בדיעבד (מה גם שהוא פרסם מאוחר יותר טיעון חוקי), והשתמשה בפירוק של הפונקציה \frac{\sin\pi x}{\pi x} למכפלה \prod_{n\ge1}(1-(\frac{x}{n})^{2}). המקדם של x^2 במכפלה שווה (עד כדי סימן) לטור הדרוש. מצד שני, אפשר להשתמש בפיתוח טיילור של \sin x סביב 0 כדי לחלץ את המקדם הזה ישירות מ-\frac{\sin\pi x}{\pi x}. "ספירה כפולה" זו נותנת את ערך הטור.
אוילר הכליל את הבעיה וחישב את הערכים של פונקצייה זטא בערכים זוגיים חיוביים, ומתברר שצצים בהם מספרי ברנולי:

\zeta(2n)=\frac{(2\pi)^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot(2n)!}

כאשר הסדרה B_n (מספרי ברנולי) ניתנת להגדרה ע"י הפונקציה היוצרת \frac{x}{e^{x}-1}=\sum\frac{B_{n}}{n!}x^{n}. רעיון ההוכחה דומה, אבל נוספים סיבוכים טכניים.

מה שאוילר לא ידע הוא שהקשר של מספרי ברנולי לפונקציית זטא הוא יותר עמוק מזה. אפשר להגדיר את פונקציית זטא על כל המישור המרוכב, ואז מגלים שבמספרים אי-זוגיים שליליים שוב צצים מספרי ברנולי, הפעם בלי \pi וחזקותיו: \zeta(1-2n)=-\frac{B_{2n}}{2n}. זה לא מקרי וקשור למשוואה הפונקציונלית של פונקציית זטא (שלא תוצג בפוסט זה). מהרבה סיבות, עדיף להסתכל דווקא על הערכים האלה במקום על הזוגיים החיוביים (בין השאר, תכונות אריתמטיות של ערכים אלו מאפשרים להגדיר פונקציות זטא p-אדיות).
מה עם ערכי פונקציית זטא באי-זוגיים חיוביים? שאלה טובה. בינתיים אין בנמצא נוסחה יפה לאף אחד מהערכים \zeta(2n+1). אחד ההישגים המשמעותיים בכיוון זה נעשה ב-1979, כאשר המתמטיקאי הצרפתי Apéry הוכיח בגיל 63 ש-\zeta(3) אי-רציונלי. שאלות של אי-רציונליות וטרנסצנדנטיות ("אי-אלגבריות") לרוב נכנסות גם כן תחת היריעה של תורת המספרים האנליטית, כי שיטות ההוכחה אנליטיות באופין.
ומה עם הזוגיים השליליים? הפונקציה מתאפסת בהם – לכן המספרים הזוגיים השליליים נקראים "האפסים הטריוויאלים" של פונקציית זטא.

[עריכה, 26.12.14: מסתבר שאוילר כן היה מודע למשוואה הפונקציונלית, הוא חישב באמצעות סכימת אבל את פונקציית זטא בערכים שליליים, באופן לא מאוד ריגורוזי, וגילה שם את מספרי ברנולי. איזה גבר.]

ב. מכפלת אוילר

אוילר שם לב שאפשר להשתמש בכך שלכל מספר טבעי יש פירוק יחיד לראשוניים כדי להציג את הפונקציה בעוד דרך, בעזרת מכפלה במקום סכום:

\sum_{n \ge 1} n^{-s}=\prod_{p \text{ is prime}}(1-p^{-s})^{-1}

ההסבר הלא-פורמלי הוא זה: בעזרת הנוסחה לטור גיאומטרי, אגיף ימין הוא \prod_{p}(\sum(p^{k})^{-s}). אם נפתח סוגריים נקבל סכום שאיבריו הם מהצורה m^{-s} כאשר m מכפלה של חזקות ראשוניים שונות. בגלל שכל מספר הוא מכפלה של כאלו חזקות (באופן יחיד, עד כדי סדר), נקבל את הטור באגף שמאל. ההסבר הפורמלי לא הרבה יותר מסובך מכך ונראה אותו בעתיד.
זהות זו, שנקראת מכפלת אוילר, תצוץ בהמשך בעוד כמה מקומות, ביניהם:

  • פונקציות-L – מרכיב חיוני בהוכחה של משפט דיריכלה לגבי ראשוניים בסדרות חשבוניות.
  • פונקציות זטא של דדקינד – מכפלת אוילר במקרה זה משתמשת בכך שבחוג דדקינד, אידאלים מתפרקים באופן יחיד לאידאלים ראשוניים.

אוילר היה חמדן ולא סיים כאן. הוא ניצל את מכפלת אוילר כדי להראות שהטור \sum\frac{1}{p} מתבדר, בדומה לטור ההרמוני (למעשה, התבדרות טור זה שקולה להתבדרות הטור ההרמוני). הרעיון הוא לקחת לוגריתם למכפלת אוילר, להשתמש בקירוב \ln(1+x)=x+O(x^{2}) ולבחון את ההתנהגות של 2 האגפים קרוב ל-s=1. זו הוכחה יפהפיה, מתוחכמת וקצרה. כנראה ההוכחה הראשונה שמשתמשת באנליזה כדי לקבל מסקנות אריתמטיות.
אחרי הוכחה זו, אוילר אעז להגיד ש-\sum \frac{1}{p} "מתנהג" כמו לוגריתם של הטור ההרמוני ולכן \sum_{p\le x}\frac{1}{p}\sim\ln(\sum_{n\le x}\frac{1}{n})\sim\ln\ln x. הטיעון הזה הוא לא ממש מתמטי והטענה הוכחה כמו שצריך רק ב-1874. אנחנו נעשה זאת עוד היום!

דיריכלה ורימן

אחרי אוילר עברו כמעט מאה שנים עד שקרה משהו באמת מעניין בסצינה, כשרימן ודיריכלה נכנסנו לתמונה והבינו שצריך להסתכל על פונקציית זטא כפונקציה במשתנה מרוכב:

א. דיריכלה

Dirichlet

נסתכל על סדרה חשבונית, a,a+q,a+2q, a+3q, \cdots , כאשר a,q שלמים זרים. לז'נדר שיער שהיא בהכרח מכילה אינסוף ראשוניים. במילים אחרות, לכל מחלקת קונגרואנציה מהצורה a \mod q יש אינסוף ראשוניים שנמצאים בה. בפוסט הקודם ראינו הוכחה של המקרה 1 \mod n (מקרה שאוילר שיער בעצמו) ובתרגילים דובר בנוסף גם על -1 \mod q (למעשה שור ומורטי הראו שהוכחות "אוקלידיות" קיימות רק עבור a^2 \equiv 1 \mod q, שזה כמובן חלק זניח מהמקרים).

ב-1837 דיריכלה שילב לראשונה את תורת המספרים עם תורת הפונקציות המרוכבות כדי להוכיח את המשפט הזה בטור-דה-פורס של אלגנטיות. בקצרה: הוא הכליל את ההוכחה של אוילר להתבדרות  \sum\frac{1}{p}. אוילר "הינדס" את הטור באמצעות לוג של פונקציית זטא. דיריכלה רצה להנדס את התור \sum_{p \equiv a \mod q} \frac{1}{p} ולהראות שהוא מתבדר. כדי לעשות כן הוא לקח קומבינציה לינארית של לוגריתמים של מספר פונקציות שמחקות את זטא אבל מחזיקות מידע מודולו q, הן נקראות פונקציות-L. הפונקציות הללו הן טורי דיריכלה של קרקטרים, ולמי שמכיר מניפולציות של פונקציות יוצרות ההוכחה תיראה יחסית טבעית.

עוד דבר שדיריכלה עשה: המשיך אנליטית את פונקציית זטא ל-\Re s > 0. הוא לא עשה זאת בדיוק במילים האלו, אבל הוא הגדיר את "פונקציית \eta של דיריכלה": \eta(s) = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} (פונקציית זטא עם סימנים מתחלפים), והראה באמצעות אינטגרציה בחלקים שהיא מתכנסת ואנליטית ב-\Re s > 0. בנוסף, היא נבדלת מפונקציית זטא בפקטור של פונקצייה אנליטית: \eta(s) = (1-2^{1-s}) \zeta(s), לכן קיבלנו המשכה של זטא.
למעשה, באותה דרך כמעט הוא הראה שפונקציות-L מתכנסות ואנליטיות ב-\Re s > 0.

ב. רימן

Riemann

בנובמבר 1859 פרסם ברנרד רימן את המאמר היחיד שלו בתורת המספרים. המאמר נקרא "על כמות הראשוניים הקטנים ממספר נתון" והשתרע על פני בקושי 10 עמודים. במאמר קצר ויחיד זה רימן מפצח את הרומן של פונקציית זטא עם תורת המספרים, ומוצא קשר ישיר בין \pi(x) (כמות הראשוניים עד x) לבין אפסים מרוכבים של פונקציית זטא. רוב המאמר לא ריגורוזי (מה שמסביר את אורכו…), דבר לא שגרתי באותה תקופה. למיטב הבנתי זה קטע של רימן, שקצת מזכיר את הסגנון של רמנוג'אן בעיני.
רוב ההצהרות הרציניות במאמר לא הוכחו כמו שצריך (אחת מהן לא הוכחה עד היום), ולכן המאמר לא נחשב הוכחה של משפט המספרים הראשוניים, למרות שהוא כן מתיימר להכיל כזו. בכל אופן, המאמר הכיל מספיק רעיונות חשובים וחדשים כדי שמתמטיקאים ימשיכו להתעסק בו במשך עשרות שנים עד שהוכחו רוב הטענות שלו והגיעו להוכחה ריגורוזית למשפט המספרים הראשוניים (ב-1896).
סקירה מהירה של המאמר:

  • הצגה חדשה לפונקציית זטא, באמצעות אינטגרל (עם פרמטר) ופונקציית גמא. אה, ושימוש ראשון בסימון \zeta.
  • מניפולציות פשוטות על אותה הצגה שמאפשרות להגדיר את פונקציית זטא לכל ערך מרוכב s \neq 1 (ההמשכה האנליטית).
  • שימוש בנוסחת השארית כדי לגזור מההצגה האינטגרלית את המשוואה הפונקציונלית, שמקשרת את \zeta(1-s) עם \zeta (s).
  • הגדרת הפונקצייה \xiפונקציה שלמה שמוגדרת באמצעות \zeta ומקיימת את הסימטריה הפשוטה \xi(s)=\xi(1-s)יותר אלגנטי לחקור אותה מאשר את זטא.
  • עכשיו רימן מתחיל להיות קצת "פישי": הוא טוען שמספר השורשים של הפונקציה ברצועה \Im s\in(0,T) הוא \frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi} עד כדי שגיאה זניחה. בנוסף הוא טוען שרוב השורשים הללו נמצאים על \Re s = \frac{1}{2}, ומשער שאולי אפילו כולם (זו ההשערה שמכונה "השערת רימן", הוא חזר עליה שנית בכתביו.)
  • שימוש בטענות אלו כדי להצדיק הצגה כפלית ל-\xi באמצעות שורשיה: \xi(s) = \xi(0) \prod_{\xi(\rho) = 0} (1-\frac{s}{\rho}). מכאן מגיעים לנוסחה חיבורית ל-\log \zeta
  • הגדרת הפונקציה J(x)=\sum\frac{\pi(x^{1/n)}}{n}, ושימוש במכפלת אוילר כדי להראות ש\frac{\log\zeta(s)}{s}=\int_{1}^{\infty}J(x)x^{-s-1}dx (עד כדי תיקון טכני שהשמטתי…)
  • שימוש בהתמרת פורייה כדי לשחזר את J מתוך אגף שמאל: J(y)=\frac{1}{2\pi i}\int_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac{\log\zeta(s)}{s}y^{s}ds
  • באמצעות הנוסחה ל-\log \zeta  ונפנופי ידיים, רימן מראה ש-J(x)=\text{\rm Li}(x)-\sum \text{\rm Li}(x^{\rho})+O(1) כאשר \text{\rm Li}(x)=\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log t} והסכום הוא על השורשים הלא-טריוויאלים של זטא. בין הדברים שרימן היה צריך להראות הוא שאין שורשים עם חלק ממשי 0 או 1.
  • שחזור \pi (x) מתוך J(x) (סוג של היפוך מביוס). שימו לב – הוא קיבל כך נוסחה מפורשת ל-\pi(x), לא קירוב! מתוך הנוסחה קל להסיק את משפט המספרים הראשוניים: \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}.

ציר זמן חלקי במיוחד

  • 300 לפני הספירה – אוקלידס היווני, אבי הגיאומטריה, מוכיח את קיומם של אינסוף ראשוניים. (אגב: זו לא הוכחה בשלילה, כמו שרבים אוהבים להציגה.)
  • 1734-1737 – אוילר מחשב את \zeta(2n)מראה ש-\zeta(s)=\prod_{p} (1-p^{-s})^{-1} ומסיק כי הטור \sum\frac{1}{p} מתבדר. בנוסף הוא משער ש\sum_{p\le x}\frac{1}{p}\sim\ln\ln x.
  • 1790-1800 – לז'נדר (הצרפתי) וגאוס (הגרמני) משערים (בנפרד) על סמך נתונים אמפיריים ש-\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}, השערה שלימים תהפוך ל"משפט המספרים הראשוניים".
  • 1837 – דיריכלה (הגרמני) מוכיח שיש אינסוף ראשוניים בסדרה חשבונית \{ a + nq\}_{n \ge 1}, ולמעשה הצפיפות שלהם בכלל הראשוניים היא \frac{1}{\phi(q)}. (שוער כבר ע"י לז'נדר באיזור 1780)
  • 1848-1850 – צ'בישב – רוסי דגול. הראה שאם יש גבול למנה \frac{\pi(x)}{x / \ln x} באינסוף, אז הוא בהכרח 1. בנוסף הראה ש-\pi(x) = \Theta ( \frac{x}{\ln x}), כלומר שהמנה חסומה מלמטה ומלמעלה ע"י קבועים חיוביים. הוכיח את השערת ברטרן על קיומם של ראשוניים בין x ל-2x. (שוערה ב-1845.)
  • 1859 – רימן (הגרמני) מפרסם מאמר משפיע על פונקציית זטא והקשר שלה ל-\pi(x).
  • 1874 – מרטנס (הגרמני) מוכיח 3 תוצאות מעניינות: \sum_{p \le x} \frac{\ln p}{p}=\ln x+O(1) , \sum_{p \le x} \frac{1}{p}=\ln \ln x+M+O(\frac{1}{x}) , \lim_{n \to \infty} \ln n\prod_{p \le n} (1-\frac{1}{p})=e^{-\gamma}.
  • 1893 – הדמר (Hadamard) הצרפתי מוכיח שהנוסחה הכפלית ל-\xi במאמר של רימן נכונה.
  • 1896 – הדמר וואלה פוסן מוכיחים (באופן בלתי תלוי) את משפט המספרים הראשוניים. הצעד המשמעותי הוא להראות שלפונקציית זטא אין אפסים על הישר \Re s = 1.

את כל התוצאות האלה אפשר (לנסות) לכסות בבלוג. אבל במאה ה-20 הייתה התפוצצות, ובפרט התחילה התעסקות רבה יותר בתורת המספרים האדיטיבית. ציר זמן חלקי ביותר:

  • 1903 – לנדאו (הגרמני) מוכיח את משפט המספרים הראשוניים עבור אידיאלים בחוגי דדקינד, ועל הדרך מפשט את ההוכחה הסטנדרטית – ללא הצגה כפלית של פונקציית זטא או שימוש במשוואה הפונקציונלית.
  • 1909 – לנדאו מפרסם ספר ראשון בתורת המספרים האנליטית, ועל הדרך ממציא את סימוני ה-"O גדול". זה רק יאה שגרמני יכתוב ספר על תורה שפותחה כמעט בלעדית ע"י אסכולה גרמנית.
  • 1909 – הילברט (הגרמני) פותר את בעיית וארינג.
  • 1915 – ברון (הנורווגי) מפתח את נפת ברון ומוכיח את משפט ברון – טור ההופכיים של הראשונים התאומים מתכנס.
  • 1917 – הארדי ורמנוג'אן חוקרים את מספר המחלקים של מספר "אקראי" ומוצאים תוחלת ושונות.
  • 1918 – הארדי ורמנוג'אן מפתחים את שיטת המעגל כדי לחלץ מידע אסימפטוטי על פונקצית החלוקה p(n).
  • 1922 – משפט צ'בוטרב מוכח – מדובר בהכללה מאסיבית למשפט דיריכלה. שוב הפן האלגברי פוגש את האנליטי.
  • 1923 – הארדי וליטלווד מראים בעזרת שיטת המעגל שהשערת רימן המוכללת גוררת שמלבד מספר סופי של מקרים,  כל מספר אי-זוגי הוא סכום של שלושה ראשוניים (טענה שנקראת "השערת גולדבך החלשה", כי היא נובעת בקלות מהשערת גולדבך המקורית).
  • 1930 – שנירלמן הרוסי מוכיח את משפט שנירלמן על צפיפות של sumset.
  • 1930 – טיצ'מארש מוכיח בעזרת נפת ברון שכמות הראשוניים שנמצאים בקטע באורך x ובסדרה חשבונית a \mod q חסומה מלמעלה ע"י \frac{2x (1+\varepsilon) }{\phi(q) \log \frac{2x}{q} } (לכל \varepsilon > 0 קיים x גדול מספיק שהחל ממנו החסם נכון).

כמות התוצאות התחילה לגדול מעריכית ולכן לא אפרט מה קרה בהמשך באופן מלא. דברים שכדאי להזכיר בכל זאת:

  • 1937 – רדמצ'ר נתן פיתוח אסימפטוטי מלא לפונקציית החלוקה ושיפר משמעותית את העבודה של הארדי ורמנוג'אן.
  • 1940 – ארדש וכץ הראו שמספר המחלקים של מספר אקראי מתפלג נורמלית (משפט ארדש-כץ), ובכך שיפרו את התוצאה של הארדי ורמנוג'אן והמציאו את תורת המספרים ההסתברותית.
  • 1942 – מאן (Mann) הוכיח משפט שמשפר מאוד את משפט שנירלמן.
  • 1948 – ארדש וסלברג מצאו הוכחה אלמנטרית למשפט המספרים הראשוניים, שלא משתמשת באנליזה מרוכבת כלל.
  • 1973 – מונטגומרי מוצא קשר בין אפסים של פונקציית זטא למטריצות אקראיות (שבתורן מופיעות בפיזיקה).
  • 1973 – מונטגומרי וווהן משפרים את התוצאה של טיצ'מארש ומחליפים את החסם ב-\frac{2x}{\phi(q) \log \frac{x}{q} }.
  • 1973 – צ'ן הראה שכל מספר זוגי הוא סכום של 2 ראשוניים, או של ראשוני עם מכפלה של 2 ראשוניים.
  • 2000 – תורה ארגודית נכנסה לתמונה, לדוגמא במשפט גרין-טאו מ-2004 ובעבודות של גאוארס.
  • 2013 – הגרסה החלשה של גולדבך הוכחה סופית.
  • 2013 – ז'אנג הראה שיש אינסוף ראשוניים שהמרחק ביניהם לא גדול מ-70 מיליון (המספר שופר ל-4680 במיזם אינטרנטי-שיתופי).

3. עבודתם של צ'בישב ומרטנס

טוב, אז אני רוצה שתהיה פה קצת מתמטיקה אמיתית. מה אפשר להוכיח בזמן הקצר שנותר לנו? אתרכז בתוצאות של שני מתמטיקאים: צ'בישב ומרטנס.

כל אחד מהם הוכיח 3 תוצאות עיקריות בתחום. הצד של צ'בישב:

  1. הוא הראה שאם קיים הגבול \frac{\pi (x)}{x/ \ln x} באינסוף, הוא בהכרח שווה 1.
  2. נגדיר \vartheta(x) = \sum_{p \le x} \ln p, \psi(x) = \sum_{p^k \le x} \ln p. צ'בישב הראה ש-\vartheta(x), \psi(x) = \Theta( x) והסיק ש-\pi(x) = \Theta(\frac{x}{\ln x}).
  3. פוסטולט ברטרן: לכל x, קיים ראשוני בין x ל-2x. (גם רמנוג'אן נתן הוכחה יפה אבל לא מאוד שונה)

מרטנס הוכיח 3 תוצאות חישוביות:

  1. \sum_{p \le x }\frac{\ln p}{p}=\ln x+O(1) (למעשה הוא הראה שה-O(1) קטן/שווה ל-2 בערכו המוחלט)
  2. \sum\frac{1}{p}=\ln\ln n+M+o(1) עבור קבוע M מסוים (למעשה השגיאה היא O(\frac{1}{\ln n}))
  3. \lim_{n \to \infty} \prod_{p \le n} (1-\frac{1}{p})\ln n = e^{-\gamma}

עם הרעיונות של התוצאה השנייה של צ'בישב אפשר להוכיח יחסית בקלות את פוסטולט ברטרן ואת התוצאה הראשונה של מרטנס.  2 התוצאות האחרונות של מרטנס נובעות כמעט ישירות מהתוצאה הראשונה שלו.
ההוכחות יהיו אלמנטריות ככל שניתן, והדגש יהיה על טבעיות וזרימה. (מה שאומר שלצערי לא אתן בהכרח את ההוכחות המקוריות.)

לאחר שלב ההוכחות נדון בהכללה של פוסטולט ברטרן.

עניין לציבור ואינטגרציה בחלקים

לפני שנפנה להוכיח את המשפטים, נשאל – למה הם מעניינים בכלל? נשים לב שאת רוב המשפטים אפשר לנסח בצורה הבאה: "מה האסימפטוטיקה של הסכום F(x) = \sum_{p \le x} f(p)?", עבור איזושהי פונקציה רציפה f. הפונקציות הספציפיות שמופיעות הן \ln x, \frac{\ln x}{x}, \frac{1}{x}, \ln(1-\frac{1}{x}). הפונקציה שעבורה באמת מעניין לפתור את השאלה היא הפונקציה הקבועה f \equiv 1, כי אז נקבל את \pi(x) ונוכיח את משפט המספרים הראשוניים. אבל עבור פונקציה קבועה מקבלים סכום לא ממושקל והוא לא מופיע באופן טבעי בעולם של תורת המספרים. אבל סכומים עם פונקציות אחרות דווקא כן מופיעים.

לפני שנראה בהוכחות איך הסכומים האלה נמצאים מתחת לאף שלנו, ניתן עוד הסבר למה הסכום עם f = 1 הוא הכי מאתגר: אפשר לחשב בעזרתו כל סכום אחר.

Niels_Henrik_Abel

אבל

למה (אינטגרציה בחלקים) – סכימת אבל:

יהיו \{ a_i \}_{i=1}^{n}, \{ b_i \}_{i=1}^{n} שתי סדרות. נסמן ב-B_k את סדרת הסכומים החלקיים של b_i:

B_k = \sum_{i=1}^{k} b_i

נסמן ב-\Delta a_k את סדרת ההפרשים של a_i:

\Delta a_k = a_{k+1} -a_k

סכימת אבל היא הזהות הבאה:

\sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_n B_n - \sum_{i=1}^{n-1} B_i \Delta a_i

האינטואיציה למשפט היא הנוחסה הרגילה של אינטגרציה בחלקים: אם f,g הן שתי פונקציות אינטגרביליות כך ש-g גזירה ו-F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt, אז:

\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx = F(x)g(x) \biggl|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} F(x)g'(x) dx

נוסחה שבתורה שקולה לכלל לייבניץ: (fg)' = f' g + f g' (תציבו בכלל F במקום f ותקחו אינטגרל על הקטע [a,b]). נוסחת אבל היא פשוט הגרסה הדיסקרטית של אינטגרציה בחלקים, כאשר את הנגזרת מחליף אופרטור ההפרש ואת האינטגרל מחליף הסכום. אפשר להוכיח אותה ע"י כלל לייבניץ הדיסקרטי (\Delta (a_n b_n) = (\Delta a_n) b_n + a_{n+1} (\Delta b_n)) או סתם באינדוקציה.

טוב, דוגמא: כאשר b_i \equiv 1 נקבל:

\sum_{i=1} a_i = na_n - \sum_{i=1}^{n-1} i(a_{i+1} - a_i)

אם נבחר a_i = \ln i, נקבל באגף שמאל \ln n! ובאגף ימין:

n \ln n - \sum_{i=1}^{n} i \ln(1+\frac{1}{i})

אם נשתמש בקירוב 0 \le \ln(1+x) \le x עבור x \ge 0, נקבל ש-\ln n! = n\ln n + O(n).
אם נשתמש בקירוב טיילור \ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + O(x^{-3}), נקבל:

\ln n! = n\ln -n - (n-1) + \frac{1}{2} H_{n-1} + O(\sum_{i=1}^{n-1} i^{-2})

תרגיל: הוכיחו ש-\ln n! = n\ln n -n + \frac{\ln n}{2} + C + O(\frac{1}{n}), כלומר את קירוב סטירלינג עד כדי ערך הקבוע.

כעת נסביר איך מתוך סכימת אבל אפשר להביע את F(n) = \sum_{p \le n} f(p) בעזרת \pi (n) = \sum_{p \le n} 1:

F(n) = \sum_{1 \le i \le n} f(i) \cdot 1_{\i \text{ is prime}} = f(n) \pi(n) - \sum_{i=1}^{n-1} \pi(i) (f(i+1)-f(i))

הסכום באגף ימין הוא על טבעיים ולא רק ראשוניים, סיטואציה שאנחנו יודעים מה לעשות בה: קירוב ע"י אינטגרל, ואם רוצים דיוק טוב יותר – נוסחת אוילר-מקלורן.

אם אתם רוצים הסבר יותר ריגורוזי – כאן אפשר לקרוא מדוע המשפטים של מרטנס לא מספיקים כדי להוכיח את משפט המספרים הראשוניים.

הוכחה – התוצאה השנייה של צ'בישב (חלק 1)

ראשית נראה ש-\psi, \vartheta קרובות. כמה פעמים מופיע \ln p ב-\psi(x)? בדיוק k פעמים, כאשר k הוא השלם המקסימלי כך ש-p^k \le x, כלומר \lfloor \frac{\ln x}{\ln p} \rfloor. כשמחסרים מ-\psi את \vartheta אז בעצם "מחסלים" את הראשוניים הגדולים, אלו שגדולים משורש x (כי הם מופיעים בדיוק פעם אחת בשתי הפונקציות). לכן:

0 \le \psi(x) - \vartheta(x) = \sum_{p \le \sqrt{x}} (\lfloor \frac{\ln x}{\ln p} \rfloor - 1) \ln p < \sum_{p \le \sqrt{x}} \frac{\ln x}{\ln p} \ln p = (\ln x) \pi(\sqrt{x}) \le \ln x \sqrt{x}

בפרט, ההפרש הוא o(x). לכן \psi(x) = \Theta(x) אמ"מ \vartheta(x) = \Theta(x).
הערה: בהמשך, כשנראה ש-\pi(x) =O(\frac{x}{\ln x}), נוכל להסיק שההפרש הוא בעצם O(\sqrt{x}).

כעת נפנה להראות ש-\vartheta(x) = O(x). זו לא ההוכחה המקורית של צ'בישב, אלא פישוט שלה. את ההוכחה המקורית נראה כשנדבר על פוסטולט ברטרן.
ההוכחה משתמשת בהבחנה היפה הבאה: \binom{2n}{n} מתחלק בכל הראשוניים בקטע (n,2n). ההסבר פשוט: ראשוני בטווח הזה מחלק את המונה (2n)! אבל לא את המכנה n!^2. על כן:

\sum_{n < p \le 2n} \ln p \le \ln \binom{2n}{n}

נשתמש בקירוב הסביר \binom{2n}{n} < 4^n כדי לקבל ש-\vartheta(2n) - \vartheta(n) <n \ln 4. מכאן הסיום הוא טכני: ע"י הצבה של חזקות של שתיים מקבלים באמצעות סכימה ש-\vartheta(2^k) < 2^k \ln 4. שימוש במונוטוניות של \vartheta נותן \vartheta(x) < 2x \ln 4 = x \ln 8. \blacksquare
הערה: נשים לב שמה שהוכחנו זה שמכפלת הראשוניים עד x קטנה/שווה C^x עבור קבוע מתאים C. מסקנה ממשפט המספרים הראשוניים היא שהקבוע האמיתי קרוב ל-e (מלמעלה) כרצוננו.

הוכחה – התוצאה הראשונה של מרטנס

Franz_Mertens

מרטנס

נראה איך הסכום S(n) = \sum_{p \le x} f(p) עם הפונקציה f(n)=\frac{\ln n}{n} נמצא מתחת לאף שלנו.
הכל מתחיל ב-n! – זה מספר גדול (שאנחנו יודעים לקרב, ראו את הפוסט הקודם) שמתחלק בכל הראשוניים עד n. נסמן ב-v_p(m) את כמות הפעמים שמספר m מתחלק בראשוני p. אם ניקח לוגריתם מהשיוויון הטאוטולוגי n! = \prod_{p \le n} p^{v_p(n!)}, נקבל:

\ln (n!) = \sum_{p \le n} v_p(n!) \ln p

הרעיון הוא ש-v_p(n!) \sim \frac{n}{p} , ולכן אחרי חלוקה ב-n נקבל את הסכום הרצוי באגף ימין, עד כדי שגיאה.
כדי לעשות את זה ריגורוזית, נשתמש במשפט הבא שנותן את הפירוק המדוייק של n!:

משפט (לז'נדר, 1808):  v_{p}(n!)=\sum_{k \ge 0} \lfloor\frac{n}{p^{k}}\rfloor

הוכחה: לפי ההגדרה. n! = 1 \cdot 2 \cdots (n-1) \cdot n. כמה מספרים בין 1 ל-n מתחלקים ב-p^k\lfloor\frac{n}{p^{k}}\rfloor. זה מסביר את הנוסחה, כי v_p(n!)=\sum_{1\le i \le n} v_p(i) = \sum_{1\le i \le n} \sum_{k: p^k | i} 1 = \sum_{k} \sum_{1 \le i \le n, p^k | i} 1. \blacksquare

הסכום האינסופי במשפט הנ"ל הוא בעצם סופי, כי עבור k > \frac{\ln n}{\ln p} התרומה היא 0. נשתמש בקירוב הבא:

v_p(n!) = \frac{n}{p} + O(1) + O(\frac{n}{p^2})

כי האיבר הראשון תורם \frac{n}{p} + O(1) וכל השאר לכל היותר \frac{n}{p^2-p} = O(\frac{n}{p^2}) (תרגיל!). מכאן,

\ln n!=\sum_{p \le n} \ln p(\frac{n}{p}+O(\frac{n}{p^{2}})+O(1))=nS(n)+n O(\sum_{p} \frac{\ln p}{p^{2}})+O(\vartheta(n))

כשהסברתי על סכימת Abel ראינו ש-\ln n!=n\ln n+O(n), ולכן אחרי חלוקה ב-n נקבל:

O(1)+\ln n=S(n)+O(\sum\frac{\ln p}{p^{2}})+O(\vartheta(n)/n)

כל מה שנותר כדי להראות ש-S(n) = \ln n + O(1) זה:

  • \vartheta(n) = O(n) – בדיוק מה שצ'בישב הראה.
  • שהטור \sum_{p} \frac{\ln p} {p^{2}} מתכנס – זה אכן המצב, כי אפילו אם סוכמים על טבעיים ולא רק על ראשוניים מקבלים טור מתכנס (\sum_{n} \frac{\ln n} {n^{2}}), לדוגמא לפי מבחן העיבוי.

\blacksquare

תרגיל: הראו ש-\sum_{p^k \le n} \frac{\ln p}{p^k} = \ln n + O(1).

הוכחה – התוצאה השנייה של מרטנס

תוצאה זו נובעת כמעט מיידית מהתוצאה הקודמת ע"י אינטגרציה בחלקים. נכתוב את \frac{1_{m \text{ is prime}}}{m} בתור a_m = \frac{\ln m}{m} \cdot 1_{m \text{ is prime}} (שאנחנו יודעים לסכום מהתוצאה הקודמת) כפול b_m = \frac{1}{\ln m}.

נפעיל את סכימת אבל ונקבל:

\sum_{p \le n } \frac{1}{p}= \sum_{2 \le m \le n } a_m b_m = \frac{S(n)}{\ln n} + \sum_{2 \le i \le n-1} (\frac{1}{\ln i} - \frac{1}{\ln (i+1)})=

נשתמש בכך ש-S(i) = O(1) + \ln i ובכך ש-\frac{1}{\ln i} - \frac{1}{\ln (i+1) } = \frac{1}{i \ln^2 i} + O(\frac{1}{i^2 \ln^2 i}) כדי להבין מה קורה שם:

= 1+O(\frac{1}{\ln n}) + \sum_{2 \le i \le n-1} (\frac{1}{i \ln i} + O(\frac{1}{i \ln^2 i}))

את השאר אשאיר לכם בתרגיל הבא.

תרגיל: הראו ש-\sum_{2 \le i \le n-1} \frac{1}{i \ln i} = \ln \ln n + C + O(\frac{1}{\ln n}) ו-\sum_{2 \le i \le n-1} \frac{1}{i \ln^2 i} = \frac{1}{\ln n} + D + O(\frac{1}{\ln n}). השלימו את ההוכחה. (רמז: \ln \ln x היא פונקציה קדומה של \frac{1}{x \ln x} ו-\frac{-1}{\ln x} היא פונקציה קדומה של \frac{1}{x \ln^2 x})

כאמור, אוילר הגיע לתוצאה דומה 100 שנים קודם לכן בצורה היוריסטית אך מגניבה ("מאה שנים של חוסר ריגורוזיות" 🙂 ), ולמעשה ההוכחה המקורית של מרטנס היא באמצעות פונקציית זטא ברוח דומה לזו של אוילר. בפוסט הבא תראו גם אותה.

הוכחה – התוצאה השלישית של מרטנס

גם תוצאה זו תנבע בנקל מהתוצאה הקודמת, רק שהפעם לא צריך אפילו אינטגרציה בחלקים. נכתוב את התוצאה בצורה חיבורית, ע"י הפעלת לוגריתם:

\sum_{p \le n} -\ln (1-\frac{1}{p}) = \ln \ln n + \gamma + o(1)

מקירוב טיילור -\ln (1-x ) = x +O(x^2) נקבל שהתוצאה הזו נובעת מהתוצאה הקודמת – הסכום באגף שמאל נבדל מהסכום \sum_{p \le n} \frac{1}{p} בהפרש \sum_{p \le n} (-\ln (1-\frac{1}{p}) - \frac{1}{p}). אפשר לכתוב אותו בתור הקבוע \sum_{p \ge 2} (-\ln (1-\frac{1}{p}) - \frac{1}{p}) ועוד שגיאה שדועכת באינסוף:

\text{Error} = \sum_{p > n} (-\ln (1-\frac{1}{p}) - \frac{1}{p}) = O(\sum_{n < p} \frac{1}{p^2}) \le O(\sum_{n < i} \frac{1}{i^2}) = O(\frac{1}{n})

תרגיל: הראו שהקבוע יוצא \gamma, קבוע אוילר-מסקרוני. זה שקול לכך שהקבוע בתוצאה הקודמת הוא:

M =\gamma + \sum_{p} \left[ \ln\! \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right]

הוכחה – התוצאה השנייה של צ'בישב (חלק 2)

חסם עליון \vartheta(x) < x \ln 8 הראנו. בשביל החסם תחתון צריך לעבוד יותר, אבל לא הרבה יותר. עלינו להבין את הפירוק של \binom{2n}{n} טוב יותר. תזכורת: מקדם בינומי זה יכול להתחלק רק בראשוניים עד 2n.
קודם התעסקנו רק במחלקים הגדולים – אלו שגדולים מ-n. אנחנו יודעים שהם מופיעים בריבוי 1 בדיוק. אבל מה לגבי השאר? מסתבר שהתרומה שלהם לא מעפילה על התרומה של הראשוניים הגדולים, ולכן אפשר לעשות חישובים כמו שעשינו קודם אבל הפעם בשביל לקבל חסם תחתון.

ועכשיו הפרטים האמיתיים. נחלק את הראשוניים לשני סוגים: ראשוניים "קטנים" (עד שורש \sqrt{2n}) וראשוניים "גדולים" (כל השאר). את התרומה של הראשוניים ה"קטנים" למקדם הבינומי נקרב בצורה גסה אבל מספקת. בנוסף נראה שהראשוניים ה"גדולים" יופיעו בריבוי שלא עולה על 1 – וזה מה שאנחנו צריכים כדי להסיק משהו על \vartheta.

נחשב במדויק את הריבוי של p במקדם הבינומי \binom{2n}{n}, בעזרת המשפט של לז'נדר:

v_{p}(\binom{2n}{n})=v_p((2n)!) - 2v_p(n!) = \sum_{k} \lfloor\frac{2n}{p^{k}}\rfloor-2\lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor

בגלל שתמיד \lfloor 2x \rfloor - 2 \lfloor x \rfloor \in \{ 0, 1\} (תרגיל!), נובע שהריבוי קטן/שווה \lfloor \frac{\ln 2n}{\ln p} \rfloor. בפרט, התרומה הכפלית של ראשוני p ל-\binom{2n}{n} היא לכל היותר p^{\lfloor \frac{\ln 2n}{\ln p} \rfloor} = e^{\ln p \lfloor \frac{\ln 2n}{\ln p} \rfloor} \le 2n.
(שימו לב: כבר עכשיו אפשר להסיק \binom{2n}{n} \le (2n)^{\pi(2n)}, תוצאה ששקולה לכך ש-\pi(n) \ge \frac{n}{\ln n} \ln 2 + O(1) ולסיים את ההוכחה. נמשיך כי הרעיון של ראשוניים קטנים/גדולים יסייע לנו בהוכחה פוסטולט ברטרן.)
התרומה הכפלית של כל הראשוניים ה"קטנים" חסומה מלמעלה ע"י (2n)^{\pi(\sqrt{2n})} \le (2n)^{\sqrt{2n}} = e^{\sqrt{2n} \ln 2n}.

הריבוי של ראשוני "גדול" הוא 1 או 0, כי p > \sqrt{2n} גורר \lfloor \frac{\ln 2n}{\ln p} \rfloor < 2. לכן, התרומה הכפלית של כל הראשוניים ה"גדולים" חסומה מלמעלה ע"י \prod_{\sqrt{2n} < p < 2n} p.
אם נשלב את הראשוניים ה"קטנים" וה"גדולים", נקבל:

\binom{2n}{n} \le e^{\sqrt{2n} \ln 2n} \prod_{\sqrt{2n} <p < 2n} p

נפעיל לוגריתם:

\ln \binom{2n}{n} - \sqrt{2n} \ln 2n + \vartheta(\sqrt{2n}) \le \vartheta(2n)

אגף שמאל הוא (2n) \ln 2 + O(\sqrt{n} \ln n). זה מספיק כדי להסיק ש-\frac{\vartheta(x)}{x} חסום מלמטה ע"י קבוע חיובי. עבור x גדול מספיק אפשר לבחור את הקבוע הזה להיות קרוב ל-\ln 2 כרצוננו. \blacksquare

עכשיו נקשור בין הפונקציה \vartheta לבין הפונקציה הרצויה, \pi:

\pi(n) = \sum_{2 \le i \le n} (1_{n\text{ is a prime}} \ln n) \frac{1}{\ln n} = \frac{\vartheta(n)}{\ln n} + \sum_{2 \le i \le n-1} \vartheta(i) (\frac{1}{\ln i} - \frac{1}{\ln (i+1)})

המחובר השני, אותו סכום מפחיד, הוא בעצם דיי קטן: ההפרש \frac{1}{\ln i} - \frac{1}{\ln (i+1)}  הוא \Theta(\frac{1}{i \ln^2 i}), ובגלל ש-\vartheta(i) = \Theta(i) נקבל שהסכום הוא:

\Theta( \sum_{2 \le i \le n-1} \frac{1}{\ln^2 i}) = \Theta(\frac{n}{\ln^2 n}) = o(\frac{n}{\ln n})

ולכן \vartheta(n) = \Theta(n) גורר \pi(n) = \Theta( \frac{n}{\ln n} ), עם אותם קבועים, וגם להיפך. בפרט, משפט המספרים הראשוניים \pi(n) \sim \frac{n}{\ln n} שקול לכך ש-\vartheta(n) \sim n, כלומר \lim_{n \to \infty} \frac{\ln \prod_{p \le n} p}{\ln e^n} = 1.

הוכחה – התוצאה הראשונה של צ'בישב

התוצאה הראשונה אומרת שאם הגבול \lim \frac{\pi(n)}{n/\ln n} קיים, הוא בהכרח שווה 1. מהתוצאות הקודמות אנחנו רק יודעים לחסום אותו (בין \ln 2 ל-\ln 8).
במקור, צ'בישב הוכיח זאת באמצעות פונקציית זטא. אציג הוכחה שונה, קצרה במיוחד אבל לא הגיונית מבחינה כרונולוגית – היא משתמשת בתוצאה השנייה של צ'בישב ובמשפט הראשון של מרטנס.
הרעיון הבסיסי הוא להביע את הסכום S(n) = \sum \frac{\ln p}{p} מהמשפט הראשון של מרטנס באמצעות הפונקציה \vartheta ע"י אינטגרציה בחלקים. בגלל שאנחנו יודעים ש-S(n) \sim \ln n, נקבל אילוץ על הגבול.

נפעיל את סכימת אבל על הסכום מהמשפט הראשון של מרטנס:

S(n) =\sum_{p \le n} \frac{\ln p}{p} = \sum_{i \le n} (\ln i \cdot 1_{i \text{ is a prime}}) \frac{1}{i} = \frac{\vartheta(n)}{n} + \sum_{i \le n-1} \frac{\vartheta(i)}{i(i+1)}

הגאולה קרובה. המחובר הראשון באגף ימין הוא O(1) (מהתוצאה השנייה של צ'בישב). בנוסף, מהמשפט הראשון של מרטנס אגף שמאל הוא \ln n + O(1). לכן:

\sum_{i \le n-1} \frac{\vartheta(i)}{i(i+1)} = \ln n + O(1)

אם הגבול L=\lim \frac{\pi(n)}{n/\ln n} קיים וגדול מ-1, אז גם הגבול \lim \frac{\vartheta(n)}{n} קיים ושווה ל-L. נתרגם זאת לסתירה: קיים n_0 \in \mathbb{N} כך שלכל i \ge n_0 מתקיים \vartheta(i) \ge \frac{L+1}{2} i, ולכן:

\ln n = \sum_{i \le n-1} \frac{\vartheta(i)}{i(i+1)} + O(1) \ge \sum_{n_0 \le i \le n-1} \frac{(L+1)/2}{i+1} + O(1) =\frac{L+1}{2}H_{n-1} + O(1)

בגלל ש-H_{n-1} \ge \ln(n-1), אגף שמאל יהיה קטן מאגף ימין עבור n גדול מספיק, סתירה. סתירה דומה תתקבל אם נניח שהגבול קטן מאחד. לכן קיומו של הגבול גורר שערכו הוא 1. \blacksquare

תרגיל: הראו ש-\int_{1}^{n} \frac{\psi(x)}{x^2} dx = \ln n + O(1).

תרגיל: הראו ש-\liminf \frac{\pi(n)}{n/\ln n} \le 1 \le \limsup \frac{\pi(n)}{n/\ln n}.

הוכחה – התוצאה השלישית של צ'בישב

ichebys001p1

צ'בישב

פוסטולט ברטן שקול לכך ש-\pi(2n) - \pi(n) פונקציה חיובית תמיד, דבר ששקול לכך ש-\vartheta(2n) > \vartheta(n). אם אנחנו מראים ש-Cn \le \vartheta(n) \le Dn (עבור n גדול מספיק), נובע ש-\vartheta(2n) - \vartheta(n) \ge (2C-D) n (עבור n גדול מספיק). אם נגיע למצב שהקבועים C,D מקיימים את התנאי 2C-D>0. אז בעצם יהיה לנו (או יותר נכון למחשב) רק מספר סופי של מקרים לבדוק.

איזה קבועים השגנו בתוצאות של צ'בישב? השגנו D = \ln 8 ו-C שקרוב כרצוננו ל-\ln 2 – לא מספיק טוב. מסתבר שאפשר לצמצם את הפער יחסית בקלות:

תרגיל: הראו באינדוקציה ש-\vartheta(x) \le \ln 4 (x-1). (רמז: השתמשו בכך ש-\prod_{n+1 < p \le 2n+1} p מחלק את \binom{2n+1}{n} .)

מהתרגיל נובע שאפשר לבחור D = \ln 4. מגניב – עכשיו ההפרש 2C-D יכול להיות קרוב לאפס כרצוננו, מלמטה. אבל זה לא מספיק – כי אנחנו צריכים שהוא יהיה חיובי…

נכשלנו בדרכים הסטנדרטיות, אבוי. אתאר עכשיו 3 הוכחות קצרות לפוסטולט, בכל אחת יש רעיון קטן אחר שמתווסף למה שעשינו כאן ומסיים את ההוכחה. ההוכחות יהיו של צ'בישב (1850), רמנוג'אן (1919) וארדש (1932).

דרכו של ארדש: נחזור להסתכל על \binom{2n}{n}. אם קודם הסתכלנו על 2 סוגים של ראשוניים – "קטנים" ו"גדולים", עכשיו נעשה ניתוח עדין יותר:

  1. ראשוניים "גדולים" – בין n ל-2n. אנחנו רוצים להראות שהם קיימים, ואנחנו יודעים שהריבוי שלהם במקדם הבינומי הוא בדיוק 1.
  2. ראשוניים "בינוניים" – בין \sqrt{2n} ל-n. זו קטגוריה חדשה שאנחנו צריכים להגיד עליה משהו חכם. ספציפית: לחסום את התרומה שלהם מלמעלה.
  3. ראשוניים "קטנים" – עד \sqrt{2n}. אנחנו יודעים שהתרומה שלהם למקדם הבינומי היא לכל היותר (2n)^{\sqrt{2n}}.

מה נגיד על הראשוניים הבינוניים? אנחנו יודעים, מניתוח קודם, שהריבוי שלהם הוא 0 או 1. עכשיו תגיע הבחנה חדשה (האלמנט היחיד המחדש בהוכחה הזו): הראשוניים בקטע (\frac{2n}{3}, n) מופיעים עם ריבוי 0! אפשר לודא זאת לדוגמא ע"י הנוסחה שמצאנו לריבוי:

\lfloor \frac{2n}{p} \rfloor - 2\lfloor \frac{n}{p} \rfloor = 2 - 2 \cdot 1 = 0

לכן התרומה שלהם למקדם הבינומי היא לכל היותר \prod_{\sqrt{2n} \le p < \frac{2n}{3}} p, ומכפלה זו חסמנו מלמעלה (בתרגיל) ע"י 4^{\frac{2n}{3} - 1}. לסיכום:

\binom{2n}{n} \le (2n)^{\sqrt{2n}} \cdot 4^{\frac{2n}{3} - 1} \cdot \prod_{n < p <2n} p

אם נשתמש בכך ש-\binom{2n}{n} \ge \frac{4^n}{2n}, נקבל:

\prod_{n < p <2n} p \ge \binom{2n}{n} (2n)^{-\sqrt{2n}} \cdot 4^{1-\frac{2n}{3}} \ge 4^{\frac{n}{3}+1} (2n)^{-1-\sqrt{2n}}

ואפשר לוודא שעבור n>4000, אגף ימין גדול מ-1 ולכן המכפלה באגף שמאל אינה ריקה. ניצחון.

דרכו של צ'בישב: נציג את ההוכחה של צ'בישב (שבפרט תכיל את ההוכחה המקורית גם לתוצאה השנייה שלו). דרך ההוכחה שלו נבין גם למה בגלל מעניין להסתכל על \psi ולא על \vartheta הפשוטה יותר.

צ'בישב הגדיר את \psi בתור \sum_{k \ge 1} \vartheta(x^{1/k}) (ודאו שהגדרה זו שקולה להגדרה שלנו – \psi(x) = \sum_{p,k: p^k \le x} \ln p). הוא הגדיר בנוסף את הפונקציה T(x):

T(x) = \sum_{i \ge 1} \psi(\frac{x}{i})

והוא שם לב שיש לה ייצוג יפה:

T(x) = \sum_{i,j \ge 1} \vartheta((\frac{x}{i})^{1/j}) = \sum_{p} \ln p \sum_{i,j: p \le (\frac{x}{i})^{1/j}} 1 = \sum_{p} \ln p \sum_{i,j: i \le \frac{x}{p^j}} 1 = \sum_{p} \ln p \sum_{j } \lfloor \frac{x}{p^j} \rfloor = \ln \prod_{p} p^{\sum_{j} \lfloor \frac{x}{p^j} \rfloor }

וממשפט לז'נדר זה בדיוק \ln \lfloor x \rfloor !. זהות זו נקראת "זהות צ'בישב":

\text{Chebyshev's Identity: } \sum_{i \ge 1} \psi ( \frac{x}{i}) = T(x) = \ln \lfloor x \rfloor !

קודם כל, נשים לב שהנוסחה הזו הגיונית: ממשפט המספרים הראשוניים, \psi(x) \sim x. אם נציב \psi(x) = x, נקבל באגף שמאל x (\sum_{1 \le i \le x} \frac{1}{i}) \sim x \ln x, וזה מסתדר עם כך שאנחנו יודעים שהסכום יוצא T(x) = x \ln x - x + O( \ln x) \sim x \ln x. (הטיעון הנ"ל הוא לא הוכחה בשום צורה למשפט המספרים הראשוניים – רק אינטואיציה!).

אנחנו לא נוכיח עכשיו את משפט המספרים הראשוניים, אבל כן ננסה לעשות סוג של היפוך לנוסחה הזו כדי להביע את \psi(x) באמצעות T(x) (פונקציה בעלת קירוב ידוע).
לדוגמא, אם נסתכל על ההפרש T(x) -2T(\frac{x}{2}) (שאנלוגי למקדם הבינומי \binom{2n}{n} שאנחנו כבר רגילים לבחון), נקבל:

T(x) - 2T(\frac{x}{2}) = \psi(x) - \psi(\frac{x}{2}) + \psi(\frac{x}{3}) - \psi(\frac{x}{4}) \pm \cdots

מהמונוטוניות של \psi נקבל:

\psi(x) - \psi(\frac{x}{2}) < T(x)-2T(\frac{x}{2}) < \psi(x)

בעזרת הקירוב ל-T(x) נקבל (\ln 2) x + O(\ln x) < \psi(x) < (2\ln 2) x + O(\ln x), ממנו אפשר להסיק אי-שיוויון דומה עם \vartheta (עם שגיאה קצת גדולה יותר) – מה שידוע בתור התוצאה הראשונה של צ'בישב.

צ'בישב הכליל טכניקת היפוך זו כדי לשפר את הקבועים וכך להסיק את הפוסטולט. הרעיון הוא לקחת קומבינציה לינארית של T(\frac{x}{a_i}), כמו שלקחנו את T(x) - 2T(\frac{x}{2}). אם ניקח את הקומבינציה C(x) = \sum_{i} T(\frac{x}{a_i}) - \sum_{j} T(\frac{x}{b_j}), ע"י קירוב סטירלינג נקבל:

C(x) = (x \ln x -x ) (\sum \frac{1}{a_i} - \sum \frac{1}{b_j} ) + x ( \sum \frac{\ln b_j}{b_j} - \sum \frac{\ln a_i}{a_i}) + O(\ln x)

כדי שביטוי זה יהיה מסדר גודל לינארי, נדרוש:

\sum \frac{1}{a_i} = \sum \frac{1}{b_j}

כעת, נציב ב-C(x) את ההגדרה ל-T(x), ונקבל שהוא סכום מהצורה:

\sum \lambda_i \psi(\frac{x}{i})

(אפשר להיווכח ש-\lambda_i תלוי רק ב-\gcd (i, \text{LCM} \{ a_i, b_j \} ).)
כעת נרצה לחלץ את \psi(x) מתוך \sum \lambda_i \psi(\frac{x}{i}), כמו שעשינו קודם.

הקבועים שצ'בישב בחר הם \{ a_i\} = \{1, 30\}, \{ b_j \} = \{2,3,5 \}. כך קיבל:

C(x) = T(x) + T(\frac{x}{30}) - T(\frac{x}{2}) - T(\frac{x}{3}) - T(\frac{x}{5}) = (0.92129\cdots ) x + O(\ln x)

מצד שני, אפשר להציב את ההגדרה ל-T(x) ולקבל את הסכום \sum \lambda_i \psi(\frac{x}{i}) כאשר:

\lambda_i = \begin{cases} 1 \quad \text{if } \gcd(i,30)=1 \\ 0 \quad \text{if } \gcd(i,30) \in \{2,3,5\} \\ -1 \quad \text{if } \gcd(i,30) \in \{ 6,10,15,30\} \end{cases}

ולסכום יש סימנים מתחלפים (זה קצת פוקס):

C(x) = \psi(x) - \psi(\frac{x}{6}) + \psi(\frac{x}{7}) - \psi(\frac{x}{10}) \pm \cdots

אפשר לנצל את המונוטוניות של \psi כדי לקבל:

\psi(x) - \psi(\frac{x}{6}) < C(x) < \psi(x)

והסיום רוטיני – נציב \frac{x}{6} במקום x באופן רקורסיבי, נסכום, ונקבל:

(0.92129\cdots ) x + O(\ln x) < \psi(x) < (\frac{6}{5} \cdot 0.92129\cdots ) x + O(\ln^2 x)

מקבלים אי-שיווין דומה עבור \vartheta. בגלל ש-2 > \frac{6}{5} נקבל ש-\vartheta(x) - \vartheta(\frac{x}{2}) חיובי עבור x גדול מספיק. צ'בישב וידא את ההשערה גם ל-x-ים הקטנים. \blacksquare

אתם עלולים לשאול את עצמכם: האם אפשר למצוא קומבינציות טובות יותר שיתנו חסמים טובים יותר ויותר, שמתכנסים למשפט המספרים הראשוניים? התשובה היא "כן", כמו שהוכיחו ארדש ודיאמונד ב-1937, אבל ההוכחה שלהם משתמשת במשפט המספרים הראשוניים… אפשר לקרוא עליה כאן.

דרכו של רמנוג'אן: רמנוג'אן מצא קיצור דרך שמבוסס על הרעיון של צ'בישב. הוא גם כן הסתכל על T(x) -2T(\frac{x}{2}), שכמו שראינו הוא סכום עם סימנים מתחלפים:

T(x) - 2T(\frac{x}{2}) = \psi(x) - \psi(\frac{x}{2}) + \psi(\frac{x}{3}) - \psi(\frac{x}{4}) \pm \cdots

מהמונוטוניות של \psi נקבל:

\psi(x) - \psi(\frac{x}{2}) < T(x)-2T(\frac{x}{2}) < \psi(x) - \psi(\frac{x}{2}) + \psi(\frac{x}{3})

האי-שיוויון השמאלי נותן, ביחד עם קירוב סטירלינג, ש-\psi(x) < (2\ln 2) x + O(\ln x). כעת:

\psi(x) - \psi(\frac{x}{2}) > (T(x) - 2T(\frac{x}{2})) - \psi(\frac{x}{3}) > (2 \ln 2) x - 2 \ln 2 \frac{x}{3} + O(\ln x) = \frac{\ln 16}{3} x + O(\ln x)

אם נציב \vartheta(x) = \psi(x) + O(\sqrt{x} \ln x), נקבל \vartheta(x) - \vartheta(\frac{x}{2}) > \frac{\ln 16}{3}x + O(\sqrt{x} \ln x), ועבור x גדול מספיק נקבל שההפרש חיובי, ניצחון. (החיסרון של הוכחה זו הוא שהיא לא נותנת לתת חסמים טובים ל-\vartheta, אבל היא גם לא מתיימרת לתת.) \blacksquare

הכללה מגניבה – משפט סילבסטר

סילבסטר, מתמטיקאי בריטי מהמאה ה-19, התעסק גם כן בבעיות מהסוג שהוזכר בפוסט. בין השאר, הוא עסק בשיפור הקבועים \liminf \frac{\vartheta(x)}{x}, \limsup \frac{\vartheta(x)}{x} באמצעות הטכניקות של צ'בישב. תוצאה מעניינת יותר שהוא הוכיח היא הכללה של פוסטולט ברטרן שנציג עוד רגע. אבל קודם-

אתנתחא היסטורית
אם השם מוכר לכם, אז כן- זה אותו סילבסטר שהתעסק באלגברה לינארית והוכיח תוצאות כמו משפט ההתמדה וקריטריון סילבסטר. בנוסף, חרף שם המשפחה שמשום מה מקושר בארץ לאנטישמיות – סילבסטר היה ממוצא יהודי, דבר שפגע בלימודיו. להלן ציטוט רלוונטי מויקיפדיה:

However, Sylvester was not issued a degree, because graduates at that time were required to state their acceptance of the Thirty-Nine Articles of the Church of England, and Sylvester – who was of Jewish origin – refused to do so. For the same reason, he was unable to compete for a Fellowship or obtain a Smith's prize

ההכללה
James_Joseph_Sylvesterההכללה (שסילבסטר הוכיח ב-1892) היא זו: בהינתן k מספרים עוקבים גדולים מ-k, לפחות אחד מהם מתחלק בראשוני גדול מ-k. אם ניקח עבור k נתון את הדוגמה הקטנה ביותר, \{ k+1, k+2, \cdots, 2k \}, נקבל את פוסטולט ברטרן.

אנחנו נשתמש בניסוח הבא של המשפט: אם n \ge 2k, המקדם הבינומי \binom{n}{k} מתחלק בראשוני גדול מ-k.

אני אביא בתור תרגיל מודרך את ההוכחה של ארדש למשפט, פישוט של ההוכחה המקורית.

חלק ראשון – k קטן (k \in [37, n^{2/3}], [8, \sqrt{n}]):

  1. הראו ש-p^a | \binom{n}{k} \implies p^a \le n (ראינו כבר את המקרה הפרטי n=2k).
  2. נניח בשלילה שהמשפט לא נכון. נקבל מהסעיף הקודם ש-\binom{n}{k} \le n^{\pi(k)}
  3. נשתמש באי-שיוויון הפשוט \binom{n}{k} > (\frac{n}{k})^k. ביחד עם הסעיף הקודם הוא נותן n^{1-\frac{\pi(k)}{k}} < k.
  4. עבור k \ge 37 מתקיים \pi(k) < \frac{k}{3} (אינטואיציה: שני שליש מהמספרים זוגיים או מתחלקים ב-3). מהסעיף הקודם נקבל k > n^{2/3}. במילים אחרות, הטענה הוכחה עבור k \in [37, n^{2/3}].
  5. בדומה, אפשר להוכיחה גם לטווח k \in [8, \sqrt{n}].

חלק שני – k גדול (k > n^{2/3}):

  1. תחת הנחת השלילה, נקבל לפי המשפט של לז'נדר ש: \binom{n}{k} < \prod_{p \le k} p \prod_{(i,p): i \ge 2, p^i \le n} p = e^{\vartheta(k)} e^{\psi(n) - \vartheta(n)}.
  2. למה לא קלה: e^{\psi(n)} < 4^n (אנחנו מכירים את הלמה עם \vartheta במקום \psi.)
  3. הראו שעבור k > n^{2/3} מתקיים \psi(n) -\vartheta(n) + \vartheta(k) \le \psi(k) + \psi(\sqrt{n}), ולכן \binom{n}{k} < 4^{k + \sqrt{n}}.
  4. (סעיף טכני) הראו שאי-השיווין האחרון מוביל לסתירה. כדאי לפרק למקרים: n \in [2k, 2.5k], [2.5k, 4k], [4k, k^{1.5} ]. (המקרה [2k,2.5k] דורש תחכום נוסף: צריך לשים לב שאם p \le k גורם ראשוני שמופיע בפירוק, הוא בהכרח קטן/שווה \frac{n}{3}, כלומר יש בעצם אינטרוול שלם שהראשוניים בו לא יכולים להופיע במקדם.)

יש כמה k-ים קטנים עבורם צריך לוודא את הטענה בידיים.

ביי!

מודעות פרסומת

אודות Ofir Gorodetsky

Graduate student at TAU. Can be contacted at bambaman1 at gmail dot com.
פוסט זה פורסם בקטגוריה כללי. אפשר להגיע ישירות לפוסט זה עם קישור ישיר.

5 תגובות על תורת המספרים האנליטית

  1. Asaf הגיב:

    אני רק אעיר שכיום תורת המספרים האנליטית מתעסקת גם בנושאים אלו אבל גם בנושאים רבים אחרים כמו התפלגות אחידה (equidistribution), ספירת נקודות (שיטת הארדי-ליטלווד ועוד), רנדומיות של פונקציות אריתמטיות, קירובים דיאופנטיים כמותיים (שזה מתקשר לספירת נקודות), משפטי "הרחבה" (sum product ושות') וכמובן יחד עם כל אלה, התורה הספקטרלית של הצגות אוטומורפיות.

  2. Asaf הגיב:

    עוד כמה הערות – העבודות של גאוורס יותר מתעסקות באנליזה הרמונית מוכללת (וקומבינטוריקה אריתמטית, משפטי הרחבה ושות') מאשר תורה ארגודית. זה פשוט במקרה מה שנקרא "נורמות גאוורס" התגלו קודם בתורה ארגודית, אז במדעי המחשב ולבסוף מצאו את הפירוש המלא שלהם (דרך אנליזת פורייה "מוכללת").
    גם גרין-טאו (בדיעבד) מתבססת על אותה "אנליזת פורייה מוכללת", למרות שהרעיונות שהובילו לפיתוח הן רעיונות ארגודיים בבסיסם (משפט פורסטנברג, משפט קרה-הוסט/ציגלר).
    ואם מזכירים את גרין-טאו, צריך להזכיר את משפט רות' ומשפט סזמרדי (שם כבר התחילו להיכנס רעיונות ארגודיים, דרך העבודה של פורסטנברג).

    אם כבר הזכרת הוכחות שונות ל-PNT, אז ישנה כמובן את ההוכחה של לנדאו (מתבססת על העבודה של הארדי-ליטלווד בתורת טאובר).
    ולמשל ישנה גם ההוכחה של סלברג להמשכה מירומורפית של טור אייזנשטיין (שבגדול שקולה להמשכה אנליטית של זטא עבור חבורות אריתמטיות) [יש לעובדה הזאת כמובן הרבה הוכחות היום, סלברג בעצמו נתן בערך שתיים וחצי, ונתנו לזה עוד רבים וטובים הוכחה, כולל הוכחה מפורסמת מאוד של ג'וזף ברנשטיין].

    נ.ב. הייתי גם מציין שוינוגרדוב הוכיח שה-odd goldbach נכון לכל מספר מספיק גדול בצורה בלתי תלויה בהשערת רימן.

  3. משתמש אנונימי (לא מזוהה) הגיב:

    James Maynard הוכיח כי lim inf(pn+1−pn)≤600:
    http://arxiv.org/abs/1311.4600
    נראה לי מאוד רלוונטי

  4. פינגבאק: השערת השורש הפרימיטיבי של ארטין | One and One

כתיבת תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s